Berechne das Integral
\[ \int \sec^4 x \; dx \]
Schreibe den Integranden \( \sec^4 x \) als Produkt \( \sec^2 x \sec^2 x \)
\[ \int \sec^4 x \; dx = \int \sec^2 x \; \sec^2 x \; dx \]
Verwende die trigonometrische Identität \( \sec^2 x = \tan^2 x + 1 \), um das Integral wie folgt zu schreiben
\[ \int \sec^4 x \; dx = \int (\tan^2 x + 1) \sec^2 x \; dx \]
Multipliziere den Integranden aus und schreibe das Integral als Summe von Integralen
\[ \int \sec^4 x \; dx = \int \tan^2 x \sec^2 x \; dx + \int \sec^2 x \; dx \]
Verwende die Integration durch Substitution: Setze \( u = \tan x \) und damit \( \dfrac{du}{dx} = \sec^2 x \) oder \( dx = \dfrac{1}{\sec^2 x} du \), um zu schreiben
\[ \int \sec^4 x \; dx = \int u^2 \sec^2 x \dfrac{1}{\sec^2 x} du + \int \sec^2 x \; dx \]
Vereinfache
\[ \int \sec^4 x \; dx = \int u^2 du + \int \sec^2 x \; dx \]
Werte aus mit den Integralformeln \( \displaystyle \int u^2 du = (1/3) u^3 \) und dem Standardintegral \( \displaystyle \int \sec^2 x \; dx = \tan x \), um zu erhalten
\[ \int \sec^4 x \; dx = \dfrac{1}{3} u^3 + \tan x + c \]
Setze \( \displaystyle u = \tan x \) zurück ein, um die endgültige Antwort zu erhalten
\[ \boxed { \int \sec^4 x \; dx = \dfrac{1}{3} \tan^3 x + \tan x + c } \]