Integral von \( \sec^4(x) \)

Herleitung und Auswertung

Berechnen Sie das Integral:

\[ \int \sec^4 x \, dx \]

Schreiben Sie den Integranden \( \sec^4 x \) als Produkt \( \sec^2 x \sec^2 x \) um:

\[ \int \sec^4 x \, dx = \int \sec^2 x \cdot \sec^2 x \, dx \]

Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \sec^2 x = \tan^2 x + 1 \), um das Integral wie folgt zu schreiben:

\[ \int \sec^4 x \, dx = \int (\tan^2 x + 1) \sec^2 x \, dx \]

Entwickeln Sie den Integranden und schreiben Sie das Integral als Summe von Integralen um:

\[ \int \sec^4 x \, dx = \int \tan^2 x \sec^2 x \, dx + \int \sec^2 x \, dx \]

Verwenden Sie die Integration durch Substitution: Sei \( u = \tan x \), was \( \dfrac{du}{dx} = \sec^2 x \) bzw. \( dx = \dfrac{1}{\sec^2 x} \, du \) ergibt. Das Einsetzen hiervon liefert:

\[ \int \sec^4 x \, dx = \int u^2 \sec^2 x \left(\dfrac{1}{\sec^2 x}\right) du + \int \sec^2 x \, dx \]

Vereinfachen Sie den Ausdruck:

\[ \int \sec^4 x \, dx = \int u^2 \, du + \int \sec^2 x \, dx \]

Berechnen Sie dies unter Verwendung der Standard-Integralformeln \( \displaystyle \int u^2 \, du = \dfrac{1}{3} u^3 \) und des gängigen Integrals \( \displaystyle \int \sec^2 x \, dx = \tan x \):

\[ \int \sec^4 x \, dx = \dfrac{1}{3} u^3 + \tan x + c \]

wobei \( c \) die Integrationskonstante ist.

Setzen Sie \( u = \tan x \) wieder ein, um das Endergebnis zu erhalten: